Vorlesung "Mathematik für Forstwissenschaften"

Prof. Dr. W. Kurth

Wintersemester 2008/09, montags, 11:15-13:00, und mittwochs, 10:15-11:00, F03

 

Zeitplan und Themenübersicht

 

13.+15. 10. 2008

Einführung, Organisatorisches; Anwendungszwecke und Gegenstände der Mathematik, Strukturbegriff: arithmetische, Ordnungs-, topologische Strukturen.

Aussagenlogik, Mengen (Schreibweise, Operationen), kartesisches Produkt; Zahlen­mengen, Summen- und Produktzeichen; n-Tupel, Strings; Potenzmenge; Funktionsbegriff als Spezialfall der Relation / der Teilmenge eines kartes. Produktes, Injektivität, Surjektivität, Bijektivität.

20.+22. 10.

Wdh.: kartes. Produkt, Funktionsbegriff, Injektivität, Surjektivität, Bijektivität.

Inverse Abbildung, Beispiele wichtiger Umkehrfunktionen auf den reellen Zahlen.

Reelle Zahlen: Einführung, Intervalle, Betragsfunktion, Potenzen, Wurzelziehen, Logarithmus. Umgebung, obere Schranke, Infimum, Supremum, Minimum, Maximum. Häufungspunkt, Grenzwert (Einführung).

27.+29. 10.

Rn, Begriffe "Vektor", "Skalar". Geometrische Deutung. Addition von Vektoren, Multiplikation "Skalar mal Vektor". Linearkombination, lineare Abhängigkeit, Rang, erzeugendes System, Basis, Dimension, Standardbasis.

Skalarprodukt, Norm / Länge von Vektoren, Orthogonalität, Winkelberechnung; Kreuzprodukt im R3.

3.+5. 11.

Wdh.: lin. Abhängigkeit, Skalarprodukt, Orthogonalität, Winkelberechnung.

Lineare Abbildungen, Matrizen, Multiplikation Matrix mal Vektor. Diagonalmatrix, Dreiecksmatrix, Skalarmatrix, Einheitsmatrix. Summe, Differenz von Matrizen, Transposition. Rang eines Vektorsystems, einer Matrix. Elementare Operationen. Gauß-Jordan-Verfahren zur Rangbestimmung.

10.+12. 11.

Wdh.: Lineare Abb., Matrizen, Matrix mal Vektor, Rang.

Determinanten, geometr. Bedeutung, Berechnung (Sarrus), Entwicklung, el. Operationen, Regeln für Determinanten. Matrizen­multiplikation / Verkettung linearer Abbildungen. Spezialfälle der Matrizenmultiplikation, Beispiele, Einheitsmatrix, inverse Matrix, reguläre Matrizen; Anwendungsbeispiel Walddynamik.

17.+19. 11.

Wdh.:Determinante, Matrizenmultiplikation, Walddynamik.

Koordinatentransformation. Lineare Gleichungssysteme: Einstieg, Schreibweisen, Satz von Frobenius, homogene LGS, Übersicht über die Lösungsverfahren. Gauß-Jordan-Verfahren, Inversenbestimmung.

24.+26. 11.

Wdh.: LGS, Satz v. Frobenius.

Lineare Abbildungen, Drehungen, Streckungen, Beispiel Schaftform (zentroaffines und äquiformes Wachstum). Eigenwerte und Eigenvektoren (Definition, Problemstellung).

1.+3. 12.

Wdh.: Eigenwerte, Eigenvektoren.

Charakteristisches Polynom, Eigenwert- und Eigenvektorbestimmung. Beispiele für Eigenvektoren. Markoff-Ketten, Bestimmung des Fixvektors. Walddynamik, Fixpunktprobleme in der Populationsdynamik. Beispiel.

8.+10. 12.

Wdh.: Funktionen, Injektivität, Surjektivität, Bijektivität, inverse Funktion. Wichtige reellwertige Funktionen.

Schachtelung (Verkettung) von Funktionen. Folgen, Grenzwerte. Differentiation (mit 1 Variablen), Differentiationsregeln, insbes. Kettenregel.

15.+17. 12.

Wdh.: Differentiationsregeln.

Beispiele, Tabellen zur Ableitung. Differential, Approximation einer Funktion in der Umgebung eines Punktes. Differential, Fehlerrechnung. Grenzwerte, Regel von de l'Hospital. Potenzreihen, Taylorsche Formel.

7. 1. 2009

Wdh.: Differentiation, Taylorsche Formel. n-dimensionaler Raum.

Extremwertbestimmung, Kurvendiskussion.

12.+14. 1.

Funktionen im Rn, Differentiation von Funktionen zweier Veränderlicher, geo­metri­sche Bedeutung der partiellen Ableitungen.

Approximation einer Funktion mehrerer Variabler in der Umgebung eines Punktes. Extremwertbestimmung bei Funktionen mit mehreren Veränderlichen. Beispiel: Methode der kleinsten Quadrate. Lösung durch Extremwertbestimmung und schnellere Lösung durch Anwendung der Lösungsformel in Matrixform (Gaußsche Normalgleichungen).

19.+21. 1.

Wdh.: Partielle Ableitungen, Tangentialebene.
Integralrechnung: Einführung, Stammfunktion / unbestimmtes Integral, Integrationsregeln (insbes. Substitution), Tabelle von Stammfunktionen.

Beispiele für Substitution. Bestimmtes Integral (Riemann-Integral), Ober- und Untersummen. Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.

26.+28. 1.

Wdh.: unbestimmtes Integral, Integrationsregeln, insbes. Substitutionsregel; Hauptsatz.

Anwendungen der Integralrechnung: Flächenberechnung. Integration von Funktionen mehrerer Veränderlicher, Gebiets­integral, Rückführung auf mehrfaches Integral mit jeweils einer Variablen. Substitutionsregel für Gebietsintegrale.

Beispiel einer Halbkugel in kartesischen und in Zylinderkoordinaten (Anwendung der Substitutionsregel).

2.+4. 2.

Wdh.: Flächenberechnung.

Volumenberechnung bei Rotationskörpern. Beispiel Baumschaft-Volumen: Volumenfortschreibung bei zentroaffinem Wachstum. Schwerpunkt, Guldinsche Regel.

Einführung in die beschreibende Statistik (Grundbegriffe): Mittelwert, Median, Varianz, Standardabweichung, Korrelation. Wertebereich und Bedeutung des Korrelationskoeffizienten.

 

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Letzte Änderung:  10. 10. 2008