Aufgaben zu 3D-Transformationen, Projektionen und Sichtvolumen

26. 11. 2001

1. Eine Kippung sei definiert als eine Rotation um die x-Achse, gefolgt von einer Rotation um die y-Achse.
(a) Man ermittle die Kippungs-Matrix in homogenen Koordinaten.
(b) Spielt die Reihenfolge, in der die Rotationen ausgeführt werden, eine Rolle?

2. Gegeben sei der Richtungsvektor r = (3; 4; 0)T. Man bestimme die Transformationsmatrix P einer rechtwinkligen Parallelprojektion entlang r auf eine Ebene durch den Koordinatenursprung.

3. Gegeben sei die Menge A im R3 durch
A = { (x, y, z, w)T | 4x - 3y + z - 5w = 0 } in homogenen Koordinaten.
(a) Man zeige: A stellt eine Ebene dar. Man gebe 3 Punkte auf A an.
(b) A werde einer Scherung S entlang der x-Achse unterworfen:

Man gebe eine Gleichung der Bildebene von A unter dieser Transformation an.
(c) Man kontrolliere an diesem Beispiel, dass für einen Normalenvektor n' der Bildebene tatsächlich (wie in der Vorlesung behauptet) gilt: n' = (S -1)T × n, wobei n der alte Normalenvektor ist.

4. W sei der um den Nullpunkt zentrierte, achsenparallele Einheitswürfel im R3.
(a) Man stelle die Objektmatrix für die Eckenmenge von W in homogenen Koordinaten auf.
(b) Unter der perspektivischen Projektion mit Zentrum bei (0; 0; -2), d.h. mit d=2, wird W auf die xy-Ebene projiziert. Berechnen Sie die Objektmatrix der Bildpunkte der Ecken von W.
(c) Zeichnen Sie das Projektionsbild von W.

5. Die Parameter einer synthetischen Kamera seien gegeben durch:

Position: COP = (-1; 2; 0)T
Blickrichtung: positive z-Achse
Orientierung: u = (0; 1; 0)T, v = (1; 0; 0)T
Öffnungswinkel: q w = q h = 60°
Abstand der near clipping plane: 1
Abstand der far clipping plane: 11.
Man bestimme das Matrixprodukt für die Transformation des erfassten Szenenausschnitts ins kanonische Sichtvolumen (-1 £ x £ 1, -1 £ y £ 1, -1 £ z £ 0).

 

Letzte Änderungen: 02. Dezember 2001.