Aufgaben zu 3D-Transformationen, Projektionen und Sichtvolumen

26. 11. 2001

1. Eine Kippung sei definiert als eine Rotation um die x-Achse, gefolgt von einer Rotation um die y-Achse.
(a) Man ermittle die Kippungs-Matrix in homogenen Koordinaten.
(b) Spielt die Reihenfolge, in der die Rotationen ausgeführt werden, eine Rolle?

2. Gegeben sei der Richtungsvektor r = (3; 4; 0)^T. Man bestimme die Transformationsmatrix P einer rechtwinkligen Parallelprojektion entlang r auf eine Ebene durch den Koordinatenursprung.

3. Gegeben sei die Menge A im R³ durch
A = { (x, y, z, w)^T | 4x - 3y + z - 5w = 0 } in homogenen Koordinaten.
(a) Man zeige: A stellt eine Ebene dar. Man gebe 3 Punkte auf A an.
(b) A werde einer Scherung S entlang der x-Achse unterworfen:

Man gebe eine Gleichung der Bildebene von A unter dieser Transformation an.
(c) Man kontrolliere an diesem Beispiel, dass für einen Normalenvektor n' der Bildebene tatsächlich (wie in der Vorlesung behauptet) gilt: n' = (S ^-1)^T × n, wobei n der alte Normalenvektor ist.

4. W sei der um den Nullpunkt zentrierte, achsenparallele Einheitswürfel im R³.
(a) Man stelle die Objektmatrix für die Eckenmenge von W in homogenen Koordinaten auf.
(b) Unter der perspektivischen Projektion mit Zentrum bei (0; 0; -2), d.h. mit d=2, wird W auf die xy-Ebene projiziert. Berechnen Sie die Objektmatrix der Bildpunkte der Ecken von W.
(c) Zeichnen Sie das Projektionsbild von W.

5. Die Parameter einer synthetischen Kamera seien gegeben durch: