Aufgaben zur Interpolation und Approximation von Kurven und Flächen

 

Aufgabe 1
Man berechne das eindeutig bestimmte Polynom p vom Grad 2 (Parabel), welches die Punkte P0 = (-5; 0), P1 = (0; -5), P2 = (1; 12) in der Form (t; p(t)) verbindet, mittels Lagrange-Interpolation.

Aufgabe 2
Durch die vorgegebenen Punkte P0 = (1; 1), P1 = (2; 2), P2 = (3; 1) soll eine kubische Splinekurve aus 2 Segmenten gelegt werden. Der Parameterbereich sei [-1; 1] mit den Stützstellen t0 = -1; t1 = 0; t2 = 1. Im Startpunkt P0 sei der Tangentenvektor (0; 1), in P2 sei er (0; -1). Man bestimme die 4 kubischen Komponentenfunktionen (für jedes Teilintervall und für jede Komponente x, y je eine kubische Funktion in t).

Aufgabe 3
Zu den 3 Punkte aus Aufgabe 2 werde noch P3 = (3; 0) hinzugenommen. Diese 4 Punkte seien die Kontrollpunkte einer kubischen Bézier-Kurve.
(a) Stellen Sie die Parametergleichung Q(t) für die Bézier-Kurve auf (t
Î [0; 1]).
(b) Berechnen und konstruieren Sie den Punkt auf der Kurve für t = 1/2.

Aufgabe 4
Der Graph (t, p(t)) des kubischen Polynoms p(t) = 7t3 + 6t2 - 3t + 5 soll über dem Intervall [0; 1] als kubische Bézier-Kurve aufgefasst werden.
(a) Man berechne und skizziere das Kontrollpolygon.
(b) Man zerlege den Graphen an der Stelle t = 1/2 in 2 Teilsegmente und gebe die Bézierpunkte der beiden Teilsegmente an (Algorithmus von de Casteljau). Man trage die Bézierpunkte der Teilsegmente in die Skizze ein.

Aufgabe 5
Q(u, 0) stelle für u
Î [0; 1] einen Halbkreis mit Mittelpunkt 0 und Radius 1 in der positiven xz-Halbebene dar, Q(u, 1) einen Halbkreis mit demselben Mittelpunkt und Radius in der positiven xy-Ebene. Die Kurven Q(0, v) und Q(1, v) seien jeweils zu einem Punkt ( (1; 0; 0) bzw. (-1; 0; 0)) entartet. Man berechne den Coons-Patch mit linearen Blendingfunktionen, der von diesen Randkurven aufgespannt wird.