Aufgaben zur Interpolation und Approximation von Kurven und Flächen
Aufgabe 1
Man berechne das eindeutig bestimmte Polynom p vom Grad 2 (Parabel),
welches die Punkte P0 = (-5; 0), P1 = (0; -5),
P2 = (1; 12) in der Form (t; p(t))
verbindet, mittels Lagrange-Interpolation.
Aufgabe 2
Durch die vorgegebenen Punkte P0 = (1; 1), P1 = (2; 2),
P2 = (3; 1) soll eine kubische Splinekurve aus 2 Segmenten gelegt
werden. Der Parameterbereich sei [-1; 1] mit den Stützstellen t0 =
-1; t1 = 0; t2 = 1. Im Startpunkt
P0 sei der Tangentenvektor (0; 1), in P2 sei er
(0; -1). Man bestimme die 4 kubischen Komponentenfunktionen (für jedes
Teilintervall und für jede Komponente x, y je eine kubische
Funktion in t).
Aufgabe 3
Zu den 3 Punkte aus Aufgabe 2 werde noch P3 = (3; 0)
hinzugenommen. Diese 4 Punkte seien die Kontrollpunkte einer kubischen
Bézier-Kurve.
(a) Stellen Sie die Parametergleichung Q(t) für die
Bézier-Kurve auf (t
Aufgabe 4
Der Graph (t, p(t)) des kubischen Polynoms p(t)
= 7t3 + 6t2 - 3t + 5 soll über dem
Intervall [0; 1] als kubische Bézier-Kurve aufgefasst werden.
(a) Man berechne und skizziere das Kontrollpolygon.
(b) Man zerlege den Graphen an der Stelle t = 1/2 in 2 Teilsegmente
und gebe die Bézierpunkte der beiden Teilsegmente an (Algorithmus von
de Casteljau). Man trage die Bézierpunkte der Teilsegmente in die Skizze ein.
Aufgabe 5
Q(u, 0) stelle für u